Penjalaran Gelombang dalam Pandu Gelombang

Gelombang elektromagnetik yang dipropagasikan sepanjang sumbu pandu gelombang dapat dijelaskan melalui persamaan gelombang yang diturunkan dari persamaan Maxwell, dan dimana panjang gelombangnya bergantung terhadap struktur dari pandu gelombang, dan material yang berada di dalamnya (udara, plastic, vakum, dll), dan juga frekuensi dari gelombangnya.Distribusi spasial dari medan listrik dan medan magent yang bergantung waktu di dalam pandu gelombang bergantung terhadap kondisi pada syarat batas yang ditetapkan oleh bentuk dan material dari pandu gelombang. Kita anggap pandu gelombang terbuat dari bahan logam konduktor yang baik sehingga dapat kita anggap sebagai konduktor yang sempurna. Hampir semua pandu gelombang memiliki tembaga pada bagian dalamnya, ettapi bebebrapa diantaranya bahkan dilapisi dengan perak atau emas pada bagian dalam (konduktor yang sangat baik dan tahan terhadap korosi). Sekarang, kondisi pada syarat batasnya adalah sebgai berikut:

· Gelombang elektromagentik tidak melewati konduktor, melainkan direfleksikan

· Setiap medan listrik yang menyentuh konduktor harus berada dalam posisi tegak lurus terhadap sumbu pansu gelombang.

· Setiap medan magentik yang berada dalam konduktor harus berada dalam posisi sejajar terhadap sumbu pandu gelombang.

Kondisi syarat batas ini menghilangkan solusi persamaan gelombang yang tak terbatas, salah satu yang tersisa merupakan solusi yang paling mungkin untuk persamaan gelombang dalam pandu gelombang. Analisis dari solusi yang tersisa pada gelombang elektromagnetik sangat matematis.

Mode propagasi dalam sebuah pandu gelombang merupakan salah satu solusi dari persamaan gelombang, atau dengan kata lain bentuk dari gelombangnya. Karena “constraint” dari kondisi batas, maka frekuensi dan bentuk dari fungsi gelombang yang dapat di propagasikan dalam pandu gelombang menjadi terbatas. Frekuensi terendah dalam mode tertentu yang dapat di propagasikan disebut “cutoff frequency” dari mode tersebut. Mode dengan “cutoff frequency” terendah merupakan mode dasar daripandu gelombang, dan “cutoff frequency-nya” adalah “cutoff frequency” pandu gelombang.

Pemantulan Gelombang 2D pada Batas Tetap

Kita anggap propagasi gelombang 2D terjadi dengan arah vector k(k₁,k₂) pada sumbu x dan y sepanjang membran dengan lebar b, membentang dengan tegangan T antara kedua bidang batas yang merepresentasikan impedansi tak terhingga pada gelombang.

Kita lihat pada gambar 4.1 bahwa dari garis y = b komponen k₁ tidak terpengaruh sementara k₂ menjadi –k₂. Pemantulan pada y = 0 komponen k₁ tidak terpengaruh  sementara –k₂ menjadi k₂ seperti semula. Sistem gelombang pada membran akan diberikan oleh superposisi dari insiden dan gelombang tercermin, yaitu:

dengan batas:

z = 0 pada y = 0 dan y = b

Karena impedansinya tak terhingga, maka pada kondisi z = 0 pada y = 0 dibutuhkan:

A₂ = -A₁

dan z = 0 pada y = b memberikan:

sin k₂b = 0

Gambar 4.1 Propagasi gelombang dua dimensi sepanjang membran dengan impedansi yang tak terhingga pada y =  0 dan y = b memberikan pembalikan k₂ pada setiap pemantulan

atau  

Dengan nilai A₂ dan k₂ perpindahan dari sistem gelombang diberikan oleh bagian nyata dari z, yaitu:

z = +2A₁ sin k₂ y sin (wt-k₁x)

yang merepresentasikan suatu gelombang yang menjalar sepanjang arah x dengan kecepatan:

dimana v, kecepatan pada luas membrane tak berhingga, diberikan oleh:

 

dimana 

karena

k² = k₁² + k₂²

Sekarang

 

sehingga

 

Dan kecepatan kelompok untuk gelombang pada arah x

 

memberikan

 

Sejak k₁ harus nyata untuk penjalaran gelombang maka:

 

dengan kondisi:

 

dimana:

 

atau

 

Pandu gelombang menggunakan seluruh sistem gelombang terutama pada aplikasi akustik dan elektromagnetik. Fiber optik pada dasarnya menggunakan prinsip pandu gelombang, tetapi pada umumnya pandu gelombang sering digunakan pada gelombang elektromagnetik telekomunikasi. Ini tercermin pada permukaan sebuah tabung tembaga yang berbentuk lingkaran atau permukaan persegi panjang. Dengan catatan pada kasus ini kecepatan pada ruang hampa akan sama dengan kecepatan cahaya

 

v_p adalah kecepatan fase, tetapi hubungan v_pv_g = c² memastikan energi dalam gelombang selalu 

menjalar dengan kecepatan kelompok  v_g < c.

 

Gambar 4.2 Variasi amplitudo dengan arah y untuk dua-dimensi menjalar gelombang sepanjang

membran dari Gambar 4.1. Mode normal (n ¼ 1, 2 dan 3 yang ditampilkan) ditetapkan sepanjang sumbu dibatasi oleh impedansi yang tak berhingga.